Question

5．已知F₁是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），直線F₁B與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，若4$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=$\overrightarrow{QP}$，則雙曲線C的離心率為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 求出P，Q的坐標(biāo)，利用$\overrightarrow{QP}$=4$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，建立方程向量坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)行求解即可求出雙曲線C的離心率．

解答 解：直線PQ經(jīng)過(guò)B（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），則k_PQ=$\frac{c}$．
∴直線PQ為：y=$\frac{c}$（x+c），與y=$\frac{a}$x．聯(lián)立得：Q（$\frac{ac}{c-a}$，$\frac{bc}{c-a}$）；
與y=-$\frac{a}$x．聯(lián)立得：P（-$\frac{ac}{c+a}$，$\frac{bc}{c+a}$）．
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-c+$\frac{ac}{c+a}$，-$\frac{bc}{a+c}$），$\overrightarrow{QP}$=（-$\frac{ac}{c+a}$-$\frac{ac}{c-a}$，$\frac{bc}{a+c}-\frac{bc}{c-a}$）
∵4$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=$\overrightarrow{QP}$，
∴橫坐標(biāo)滿(mǎn)足-$\frac{ac}{c+a}$-$\frac{ac}{c-a}$=4（-c+$\frac{ac}{c+a}$），
即$\frac{-2a{c}^{2}}{（c+a）（c-a）}$=$\frac{-4{c}^{2}}{c+a}$，
即$\frac{a}{c-a}$=2，
則a=2c-2a，
則2c=3a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的離心率的計(jì)算，根據(jù)條件求出直線方程，聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量關(guān)系建立a，c的方程是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力．