Question

15．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）寫出函數(shù)f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （I）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)的最值．

解答 解：（I）根據函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象，
可得$\frac{3}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{13π}{12}$-$\frac{π}{3}$，求得ω=2，∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
再根據五點法作圖可得2•$\frac{π}{3}$+φ=π，求得φ=$\frac{π}{3}$．
（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，
2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
當2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$時，即x=-$\frac{π}{4}$，函數(shù)f（x）取得最小值為-$\frac{1}{2}$．
當2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，即x=$\frac{π}{12}$，函數(shù)f（x）取得最大值為1．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，正弦函數(shù)的最值，屬于基礎題．