Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，點E是PA的中點，AB=BC=1，AD=2．求證：
（1）平面PCD⊥平面PAC；
（2）BE∥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）取AD中點F，連結AC、CF，由勾股定理得AC⊥DC，由線面垂直得CD⊥PA，由此能證明平面PCD⊥平面PAC．
（2）取PD中點G，連結EG、CG，由已知得四邊形BCGE是平行四邊形，從而BE∥CG，由此能證明BE∥平面PCD．

解答 證明：（1）取AD中點F，連結AC、CF，
∵在四棱錐P-ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，
點E是PA的中點，AB=BC=1，AD=2，
∴AF=DF=CF=1，CF⊥DF，
∴CD=AC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，∴AC²+CD²=AD²，
∴AC⊥DC，
∵PA⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，∴CD⊥PA，
∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，
∵CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC．
（2）取PD中點G，連結EG、CG，
∵在四棱錐P-ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，
點E是PA的中點，AB=BC=1，AD=2，
∴EG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$，BC$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$，
∴EG$\underset{∥}{=}$BC，∴四邊形BCGE是平行四邊形，
∴BE∥CG，
∵BE?平面PCD，CG?平面PCD，
∴BE∥平面PCD．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．