Question

3．已知函數(shù)f（x）滿足f（x+$\frac{1}{2}$）+f（-x+$\frac{1}{2}$）=2，化簡：S_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1）．

Answer 1

分析 由已知等式可得f（x）+f（1-x）=2，且f（$\frac{1}{2}$）=1．然后對n分類討論求得答案．

解答 解：由f（x+$\frac{1}{2}$）+f（-x+$\frac{1}{2}$）=2，得f（x）+f（1-x）=2，且f（$\frac{1}{2}$）=1．
當(dāng)n為奇數(shù)時，
則S_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1）=[f（0）+f（1）]+[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+…+[f（$\frac{n-1}{2n}$）+f（$\frac{n+1}{2n}$）]=$\frac{n+1}{2}×2=n+1$；
當(dāng)n為偶數(shù)時，
則S_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1）=[f（0）+f（1）]+[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+…+f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{n}{2}×2+1=n+1$．
∴S_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1）=n+1．

點評 本題考查函數(shù)值的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，尋找規(guī)律是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．