Question

16．若a＞0，b＞0，求證：a^bb^a≤（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$．

Answer 1

分析 利用分析、綜合法，即可證明結論．

解答 證明：要證明a^bb^a≤（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$，
只要$（\frac{a}）^{\frac{b-a}{2}}$≤1，
a＞b＞0，則$\frac{a}$＞1，b-a＜0，∴$（\frac{a}）^{\frac{b-a}{2}}$＜1；
0＜a＜b，則0＜$\frac{a}$＜1，b-a＞0，∴$（\frac{a}）^{\frac{b-a}{2}}$＜1；
a=b＞0，則$\frac{a}$=1，b-a=0，∴$（\frac{a}）^{\frac{b-a}{2}}$=1．
∴$（\frac{a}）^{\frac{b-a}{2}}$≤1，
∴a^bb^a≤（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$．

點評 本題考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．