Question

15．定義在R上的函數(shù)f（x），且對任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），f（x）+f（2-x）=0成立，當x∈（0，1]時，f（x）=-x²+2x+1．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）當x∈[-1，0）時，求函數(shù)f（x）的表達式；
（3）當x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）時，求函數(shù)f（x）的表達式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行證明即可．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化求解即可．
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的關系即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）證明：∵f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
則由f（x）+f（2-x）=0，得f（x）=-f（2-x）=-f（-x），
即f（-x）=-f（x），
即f（x）為奇函數(shù)．
（2）若x∈[-1，0），則-x∈（0，1]，f（-x）=-（-x）²+2（-x）+1=-x²-2x+1，
又f（x）為奇函數(shù)，∴-f（x）=-x²-2x+1，即f（x）=x²+2x-1，x∈[-1，0）．
（3）由f（x+2）=f（x），f（x）是以2為周期的函數(shù)．又f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0
當x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）時，
若x∈[2k-1，2k），（k∈Z），則x-2k∈[-1，0），
則f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²+2（x-2k）-1，x∈[2k-1，2k），
若x∈（2k，2k+1]，（k∈Z），則x-2k∈（0，1]，
則f（x）=f（x-2k）=-（x-2k）²+2（x-2k）+1，x∈[2k-1，2k），
若x=2k，（k∈Z），則x-2k=0，
則f（x）=f（x-2k）=f（0）=0，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-2k）^{2}+2（x-2k）-1，}&{x∈[2k-1，2k）}\\{0}&{x=2k}\\{（x-2k）^{2}+2（x-2k）+1，}&{x∈（2k，2k+1]}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)解析式的求解，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)結(jié)合分段函數(shù)的應用是解決本題的關鍵．