Question

3．在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M、N為AC邊上兩個動點，且滿足|MN|=$\sqrt{2}$，則$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$的取值范圍是[$\frac{3}{2}$，2]．

Answer 1

分析 建立平面直角坐標系，設出M，N坐標，利用坐標表示出$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}$，

解答 解：以等腰直角三角形的直角邊為坐標軸，建立平面直角坐標系，如圖，則B（0，0），直線AC的方程為x+y=2．
設M（a，2-a）在N的左側(cè)，則0≤a≤1，N（a+1，1-a），∴$\overrightarrow{BM}$=（a，2-a），$\overrightarrow{BN}$=（a+1，1-a）．
∴$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=a（a+1）+（2-a）（1-a）=2a²-2a+2=2（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$．
∵0≤a≤1，∴當a=$\frac{1}{2}$時，$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$取得最小值$\frac{3}{2}$，當a=0或1時，$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$取得最大值2．
故答案為[$\frac{3}{2}$，2]．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，采用坐標法可使問題計算簡便，注意a的范圍是解題關鍵．