Question

已知曲線的直角坐標(biāo)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.是曲線上一點(diǎn)，，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后得到點(diǎn),,點(diǎn)的軌跡是曲線.

（Ⅰ）求曲線的極坐標(biāo)方程.

（Ⅱ）求的取值范圍.

 

Answer 1

（Ⅰ）＝＋，（Ⅱ）[2，4]

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先將曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，設(shè)M(ρ，θ)，根據(jù)知，Q（，θ)，由是曲線上一點(diǎn)，，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后得到點(diǎn)知，P（，），代入曲線的極坐標(biāo)方程即得到曲線的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲線的極坐標(biāo)方程為）＝＋，所以=＝ (1＋3sin2)，先求的取值范圍，利用不等式的性質(zhì)，即可求出|OM|的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）曲線C1的極坐標(biāo)方程為＋ρ2sin2θ＝1，即＋sin2θ＝．

在極坐標(biāo)系中，設(shè)M(ρ，θ)，P(ρ1，α)，則

題設(shè)可知，ρ1＝，α＝. ①

因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C1上，所以＋sin2α＝ ②

由①②得曲線C2的極坐標(biāo)方程為＝＋. 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

＝ (1＋3sin2)．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720222129929135/SYS201411172022441126403963_DA/SYS201411172022441126403963_DA.031.png">的取值范圍是[，]，所以|OM|的取值范圍是[2，4]. 10分

考點(diǎn)：直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化，相關(guān)點(diǎn)法求曲線方程，函數(shù)的值域