Question

4．已知θ∈[0，$\frac{π}{2}}$]，直線xsinθ+ycosθ-1=0和圓C：（x-1）²+（y-cosθ）²=$\frac{1}{4}$相交所得的弦長(zhǎng)為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則θ=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 求出圓心和半徑，以及圓心到直線的距離，根據(jù)直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：圓的半徑為R=$\frac{1}{2}$，圓心C（1，cosθ），
則圓心到直線的距離d=$\frac{|sinθ+cos^2θ-1|}{\sqrt{sin^2θ+cos^2θ}}$=|sinθ+cos²θ-1|=|sinθ-sin²θ|，
∵直線xsinθ+ycosθ-1=0和圓C：（x-1）²+（y-cosθ）²=$\frac{1}{4}$相交所得的弦長(zhǎng)為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
等比數(shù)列R²=d²+（$\frac{1}{2}×$$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）²，
即$\frac{1}{4}$=（sinθ-sin²θ）²+$\frac{3}{16}$，
即（sinθ-sin²θ）²=$\frac{1}{4}$-$\frac{3}{16}$=$\frac{1}{16}$，
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}}$]，
∴sinθ-sin²θ=$\frac{1}{4}$，
即sin²θ-sinθ=$\frac{1}{4}$，
則（sinθ-$\frac{1}{2}$）²=0，
則sinθ=$\frac{1}{2}$，
則θ=$\frac{π}{6}$，
故答案為：$\frac{π}{6}$，

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓相交的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式以及相交弦長(zhǎng)公式建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．