Question

9．已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax²-x，g（x）=lnx．
（1）若a=1，求函數(shù)y=f（x）-3g（x）的極值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）≥g（ax）成立？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出y=f（x）-3g（x）的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的根，判斷導(dǎo)函數(shù)根左右的單調(diào)性，再根據(jù)極值的定義即可得；
（2）令h（x）=f（x）-g（ax）=ax²-x-ln（ax），則問(wèn)題等價(jià)于h（x）_min≥0，h′（x）=$\frac{a{x}^{2}-x-1}{x}$，令p（x）=2ax²-x-1，△=1+8a＞0，設(shè)p（x）=0有兩不等根x₁，x₂，不妨令x₁＜0＜x₂，利用導(dǎo)數(shù)可求得h（x）_min=h（x₂）≥0；由p（x₂）=0可對(duì)h（x₂）進(jìn)行變形，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷h（x₂）≤0，由此求得x₂=1，進(jìn)而求得a值．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，y=f（x）-3g（x）=x²-x-3lnx，
導(dǎo)數(shù)y′=2x-1-$\frac{3}{x}$=$\frac{（x+1）（2x-3）}{x}$，
因?yàn)閤＞0，所以當(dāng)0＜x＜$\frac{3}{2}$時(shí)，y′＜0，當(dāng)x＞$\frac{3}{2}$時(shí)，y′＞0，
所以函數(shù)y=f（x）-3g（x）在x=$\frac{3}{2}$處取得極小值f（$\frac{3}{2}$）-3g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$-$\frac{3}{2}$-3ln$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$-3ln$\frac{3}{2}$，
函數(shù)y=f（x）-3g（x）沒(méi)有極大值；
（2）假設(shè)存在f（x）≥g（ax）成立．
令h（x）=f（x）-g（ax）=ax²-x-ln（ax），即h（x）_min≥0，
所以h′（x）=2ax-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-x-1}{x}$，
令p（x）=2ax²-x-1，△=1+8a＞0，
所以p（x）=0有兩個(gè)不等根x₁，x₂，x₁ x₂=-$\frac{1}{2a}$，不妨令x₁＜0＜x₂，
所以h（x）在（0，x₂）上遞減，在（x₂，+∞）上遞增，
所以h（x₂）=ax₂²-x₂-ln（ax₂）≥0成立，
因?yàn)閜（x₂）=2ax₂²-x₂-1=0，
所以ax₂=$\frac{1+{x}_{2}}{2{x}_{2}}$，
所以h（x₂）=$\frac{1-{x}_{2}}{2}$-ln$\frac{1+{x}_{2}}{2{x}_{2}}$≥0，
令k（x）=$\frac{1-x}{2}$-ln$\frac{1+x}{2x}$=$\frac{1-x}{2}$+ln2x-ln（1+x），
k′（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+1}$=-$\frac{（x-1）（x+2）}{2x（x+1）}$，
所以k（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
所以k（x₂）≤k（1）=0，又h（x₂）=$\frac{1-{x}_{2}}{2}$-ln$\frac{1+{x}_{2}}{2{x}_{2}}$≥0，
所以x₂=1代入ax₂=$\frac{1+{x}_{2}}{2{x}_{2}}$，得a=1，
所以a∈{1}．
故存在實(shí)數(shù)a的取值集合{1}，使得f（x）≥g（ax）成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及閉區(qū)間上函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，根據(jù)問(wèn)題恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)是解決該題目的關(guān)鍵，要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)．屬于難題．