Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠DAB=60°，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點(diǎn)，E為BC所在直線上的一點(diǎn)
（1）求證：平面PAD⊥平面PGB；
（2）記$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，當(dāng)平面PDC和平面PGE所成的二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$時(shí)，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，由正三角形性質(zhì)的BG⊥AD，由此能證明BG⊥平面PAD，即可證明平面PAD⊥平面PGB；
（2）以G為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，由此能利用平面PDC和平面PGE所成的二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$時(shí)，求λ的值．

解答 （1）證明：連結(jié)BD．
∵ABCD為菱形，且∠DAB=60°
∴△ABD為正三角形．
又G為AD的中點(diǎn)，
∴BG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BG⊥平面PAD．
∵BD?平面PGB，
∴平面PAD⊥平面PGB；
（2）解：∵△PAD為正三角形，G為AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD．
∵PG?平面PAD，由（1）得：PG⊥GB．
又由（1）知BG⊥AD．∴PG、BG、AD兩兩垂直．
故以G為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系G-xyz，PG=PDcos30°=$\sqrt{3}$，GB=ABsin60°=$\sqrt{3}$
所以G（0，0，0），D（0，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），C（$\sqrt{3}$，2，0），E（$\sqrt{3}$，2λ，0）
所以$\overrightarrow{PD}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}$，2，-$\sqrt{3}$），
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{y-\sqrt{3}z=0}\\{\sqrt{3}x+2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，則x=-1，y=$\sqrt{3}$，所以$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}$，1），
設(shè)平面PGE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），則
因?yàn)?\overrightarrow{PG}$=（0，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{GE}$=（$\sqrt{3}$，2λ，0），
所以$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}c=0}\\{\sqrt{3}a+2λb=0}\end{array}\right.$，所以取$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$，-$\frac{3}{λ}$，0）
因?yàn)槠矫鍼DC和平面PGE所成的二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
所以$\frac{|-2\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{λ}|}{\sqrt{5}•\sqrt{12+\frac{9}{{λ}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，所以λ=-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查平面與平面垂直的證明，解題時(shí)正確運(yùn)用向量法是關(guān)鍵．