19.為了解某種樹苗培育情況,研究所在苗圃基地花木園中隨機(jī)抽出30株樹苗的主體高,編成如圖所示的莖葉圖,若苗主體高在169cm以上(包括169cm)定義為“優(yōu)質(zhì)苗”,高在169cm以下(不包括169cm)定義為“普苗”
(1)如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)質(zhì)苗”和“普苗”中抽取5株,再從這5株中選2株,那么至少有1株是“優(yōu)質(zhì)苗”的概率是多少?
(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想,用樣本估計(jì)總體,把頻率作為概率,若從該花木園隨機(jī)選3株出售,價(jià)格是:“優(yōu)質(zhì)苗”每株3,“普苗”每株1(單位:千元)用X表示銷售3株的總收入,試寫出X的分布列,并求X的數(shù)學(xué)期望.

分析 (1)由莖葉圖得用分層抽樣的方法從“優(yōu)質(zhì)苗”和“普苗”中抽取5株,抽到株“優(yōu)質(zhì)苗”,抽到2株“普苗”,再從這5株中選2株,求出基本基本總數(shù),利用對立事件概率計(jì)算公式能求出至少有1株是“優(yōu)質(zhì)苗”的概率.
(2)由已知得X的可能能取值為3,5,7,9,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出X的分布列和EX.

解答 解:(1)由莖葉圖得“優(yōu)質(zhì)苗”有18株,“普苗”有12株,
用分層抽樣的方法從“優(yōu)質(zhì)苗”和“普苗”中抽取5株,
抽到$\frac{5}{30}×18$=3株“優(yōu)質(zhì)苗”,抽到$\frac{5}{30}×12$=2株“普苗”,
再從這5株中選2株,基本基本總數(shù)n=${C}_{5}^{2}$=10,
至少有1株是“優(yōu)質(zhì)苗”的概率:p=1-$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{9}{10}$.
∴至少有1株是“優(yōu)質(zhì)苗”的概率是$\frac{9}{10}$.
(2)由已知得X的可能能取值為3,5,7,9,
P(X=3)=$\frac{{C}_{12}^{3}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{220}{4060}$=$\frac{55}{1015}$,
P(X=5)=$\frac{{C}_{12}^{2}{C}_{18}^{1}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{1188}{4060}$=$\frac{297}{1015}$,
P(X=7)=$\frac{{C}_{12}^{1}{C}_{18}^{2}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{1836}{4060}$=$\frac{459}{1015}$,
P(X=9)=$\frac{{C}_{18}^{3}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{816}{4060}$=$\frac{204}{1015}$,
∴X的分布列為:

 X 3 5 7 9
 P $\frac{55}{1015}$ $\frac{297}{1015}$ $\frac{459}{1015}$ $\frac{204}{1015}$
EX=$3×\frac{55}{1015}$+$5×\frac{297}{1015}$+7×$\frac{459}{1015}$+9×$\frac{204}{1015}$=6.6.

點(diǎn)評 本題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意莖葉圖、分層抽樣的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊系列答案
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9.已知角α的終邊過點(diǎn)P(-8m,-6sin150°),且cosα=-$\frac{4}{5}$,則m的值為( 。
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10.已知f(c)=(c-a)(c-b),其中a+b=1-c且c≥0,a≥0,b≥0.則f(c)的取值范圍為( 。
A.[-$\frac{1}{8}$,1]B.[0,1]C.[0,$\frac{1}{4}$]D.[-$\frac{1}{9}$,1]

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選手年齡[5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)
 頻數(shù) 2 12 16 10 73
(Ⅰ)在表中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;

(Ⅱ)若將頻率視為概率,從參與節(jié)目的選手中隨機(jī)抽取3位(看作有放回地抽取),求年齡在[35,45)內(nèi)的選手人數(shù)X的分布列、數(shù)學(xué)期望.

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14.下列命題中真命題是( 。
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B.若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β
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D.若α∩β=m,n∥m,則n∥α且n∥β

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4.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,且∠DAB=60°,側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G為AD邊的中點(diǎn),E為BC所在直線上的一點(diǎn)
(1)求證:平面PAD⊥平面PGB;
(2)記$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$,當(dāng)平面PDC和平面PGE所成的二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$時(shí),求λ的值.

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11.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+$\frac{π}{6}$)-cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期及x∈[$\frac{π}{12}$,$\frac{2π}{3}$]時(shí)f(x)的值域;
(2)在△ABC中,角A、B、C所對的邊為a,b,c,且角C為銳角,S△ABC=$\sqrt{3}$,c=2,f(C+$\frac{π}{4}$)=$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$.求a,b的值.

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8.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,若棱BB1=BC=1,AB=$\sqrt{3}$,則AD1與BC所成角等于45°,CD1與AB所成角等于30°,CD1與A1D所成角的余弦值等于$\frac{\sqrt{2}}{4}$.

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