Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

，AB=1，M是PB的中點．
（1）證明：面PAD⊥面PCD；
（2）求AC與PB所成的角的余弦值；
（3）求二面角M-AC-B的正弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以A為坐標(biāo)原點，AD長為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出面PAD⊥面PCD．
（2）求出

AC

=(

1

2

，

1

2

，0)，

PB

=(0，1，-

1

2

)，利用向量法能求出AC與PC所成角的余弦值．
（3）分別求出平面ACB和平面MAC的法向量，利用向量法能求出二面角M-AC-B的正弦值．

解答： （1）證明：以A為坐標(biāo)原點，AD長為單位長度，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則由題意知A（0，0，0），B（0，1，0），C（

1

2

，

1

2

，0），
D（

1

2

，0，0），P（0，0，

1

2

），M（0，

1

2

，

1

4

）
∴

AP

=(0，0，

1

2

)，

DC

=(0，

1

2

，0)，
∴

AP

•

DC

=0，∴AP⊥DC，
由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，
∴DC⊥面PAD．又DC?PCD內(nèi)，
面PAD⊥面PCD．
（2）解：∵

AC

=(

1

2

，

1

2

，0)，

PB

=(0，1，-

1

2

)，
∴|

AC

|=

2

2

，|

PB

|=

5

2

，

AC

•

PB

=

1

2

，
∴cos＜

AC

，

PB

＞=

10

5

，
∴AC與PC所成角的余弦值為

10

5

．
（3）解：平面ACB的一個法向量

AP

=(0，0，

1

2

)，
設(shè)平面MAC的一個法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AM =0 n • AC =0

，即

1 2 y+ 1 4 z=0 1 2 x+ 1 2 y=0

，
不妨取

n

=(1，-1，2)，
設(shè)二面角M-AC-B的平面角為則θ，
則cosθ=cos＜

AP

，

n

＞=

1 2 ×2

1 2 1+1+4

=

6

3

，
∴sinθ=

1-cos2θ

=

3

3

．
∴二面角M-AC-B的正弦值為

3

3

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，解題時要注意向量法的合理運用．