Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段PC上，MC=2PM．
（Ⅰ）求證：PA∥平面MQB；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間角

分析：（I）連接AC交BQ于點(diǎn)N，連接MN，由已知條件推導(dǎo)出MN∥PA，由此能證明PA∥平面MQB．
 （II）以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別一QA，QB，QP所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C大�。�

解答： （I）證明：連接AC交BQ于點(diǎn)N，連接MN，
∵AQ∥BC，∴

AN

NC

=

AQ

BC

=0.5，
∵2PM=MC，∴

PM

MC

=0.5，
∴

PM

MC

=

AN

AC

，∴在△PAC中，MN∥PA，
∵M(jìn)N?平面MQB，PA不包含于平面MQB，
∴PA∥平面MQB…（5分）
 （II）解：∵PQ⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，交線為AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別一QA，QB，QP所在的直線為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Q-xyz．
∵PA=PD=2，∴A（1，0，0），B(0，

3

，0)，P(0，0，

3

)．
設(shè)平面MQB的方向量為

n

=(x，y，z)，
由

PA

=(1，0，-

3

)

.

QB

=(0，

3

，0)，
且

n

⊥

PA

，

n

⊥

QB

，得：

x- 3 z=0 3 y=0

，
令z=1，得x=

3

，y=0
∴

n

=(

3

，0，1)為平面MQB的一個(gè)方向量．
取平面ABCD的方向量為

m

=(0，0，1)
則cos?

m，

n

＞=

m * n

| m || n |

=

1

2

，
故二面角M-BQ-C大小為60°．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．