Question

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，其中左焦點為 .
（1）求橢圓 的方程；
（2）過 的直線 與橢圓 相交于 兩點，若 的面積為 ，求以 為圓心且與直線 相切的圓的方程.

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，得 ，解得 .

故橢圓 的方程為： .

（2）解：①當直線 軸時，可取 ， ， 的面積為3，不符合題意.

②當直線 與 軸不垂直時，設(shè)直線 的方程為 ，代入橢圓方程得：

.

顯然 成立，設(shè) ， ，則 ， ，

可得： ，又圓 的半徑： ，

∴ 的面積為： .

解得： .

∴ ，圓的方程為 .

【解析】對于(1)，給出了橢圓方程形式及兩個條件，通過列出關(guān)于a,b,c的方程組求a,b,c.
對于（2）涉及到直線與橢圓相交時產(chǎn)生的弦長，三角形面積等問題時，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立成方程組，消去一個未知數(shù)如y，得到關(guān)于x的一元二次方程，由判別式，韋達定理，弦長公式等解決問題，本題還涉及到直線與圓相切，即圓心互直線的距離等于半徑。注意要考慮直線的斜率不存在的情況。當然本題設(shè)直線方程用反演式:x=my+t，要優(yōu)化些。