Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（2x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整數(shù)x₀使得f（x₀）＜0，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [$-\frac{3}{2e}，1$）
• B． [$-\frac{3}{2e}，\frac{3}{4}$）
• C． [$\frac{3}{2e}，\frac{3}{4}$）
• D． [$\frac{3}{2e}，1$）

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)x₀使得g（x₀）在直線y=ax-a的下方，求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得-a＞g（0）=-1且g（-1）=-3e^-1≥-a-a，解關(guān)于a的不等式組可得．

解答 解：設(shè)g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a，
由題意知存在唯一的整數(shù)x₀使得g（x₀）在直線y=ax-a的下方，
∵g′（x）=e^x（2x-1）+2e^x=e^x（2x+1），
∴當(dāng)x＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞-$\frac{1}{2}$時(shí)，g′（x）＞0，
∴當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）取最小值-2${e}^{-\frac{1}{2}}$，
當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=-1，當(dāng)x=1時(shí)，g（1）=e＞0，
直線y=ax-a恒過定點(diǎn)（1，0）且斜率為a，
故-a＞g（0）=-1且g（-1）=-3e^-1≥-a-a，解得$\frac{3}{2e}$≤a＜1
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)和極值，涉及數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．