Question

6．如圖，橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，點(diǎn)P（0，1）在短軸CD上，且$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-1
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．是否存在常數(shù)λ，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$、$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-1，計(jì)算即得a=2、b=$\sqrt{2}$，進(jìn)而可得結(jié)論；
（Ⅱ）分情況對(duì)直線AB斜率的存在性進(jìn)行討論：①當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線AB與橢圓方程，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得當(dāng)λ=1時(shí)$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-3；②當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-3．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，可得C（0，-b），D（0，b），
又∵P（0，1），且$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-^{2}=-1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）結(jié)論：存在常數(shù)λ=1，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$為定值-3．
理由如下：
對(duì)直線AB斜率的存在性進(jìn)行討論：
①當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，消去y并整理得：（1+2k²）x²+4kx-2=0，
∵△=（4k）²+8（1+2k²）＞0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，
從而$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x₁x₂+y₁y₂+λ[x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）]
=（1+λ）（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=$\frac{（-2λ-4）{k}^{2}+（-2λ-1）}{1+2{k}^{2}}$
=-$\frac{λ-1}{1+2{k}^{2}}$-λ-2．
∴當(dāng)λ=1時(shí)，-$\frac{λ-1}{1+2{k}^{2}}$-λ-2=-3，
此時(shí)$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-3為定值；
②當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD，
此時(shí)$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=-2-1=-3；
故存在常數(shù)λ=1，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$為定值-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、分類(lèi)與整合等數(shù)學(xué)思想，注意解題方法的積累，屬于難題．