Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2ⁿ-1．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1-2b_n=8a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：數(shù)列{

bn

2n

}為等差數(shù)列，并求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意知，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1，經(jīng)檢驗(yàn)a₁=1適合，于是可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由b_n+1-2b_n=8a_n，可推知

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=2，

b1

21

=1，于是可知{

bn

2n

}是首項(xiàng)為1，公差為2的等等差數(shù)列，從而可求得b_n，利用錯(cuò)位相減法即可求得{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=2¹-1=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
a₁=1適合通項(xiàng)公式a_n=2^n-1，
∴a_n=2^n-1（n∈N^*）；
（2）∵b_n+1-2b_n=8a_n，
∴b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺²，
∴

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=2，又

b1

21

=1，
∴{

bn

2n

}是首項(xiàng)為1，公差為2的等等差數(shù)列． 
∴

bn

2n

=1+2（n-1）=2n-1，
∴b_n=（2n-1）×2ⁿ．
∴T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+2×

22(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺²-6-（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差關(guān)系的確定與其通項(xiàng)公式的求法，突出考查錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．