Question

已知函數.f(x)=

10x-10 -x

10x+10-x

（1）求f（x）的值域；
（2）用函數單調性定義證明：f（x）在定義域上為增函數．

Answer 1

考點：指數函數綜合題,函數的值域,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用指數函數的性質求出f（x）的值域；
（2）利用函數的單調性定義證明f（x）的增減性．

解答： 解：（1）∵f(x)=

10x-10-x

10x+10-x

=

102x-1

102x+1

=

102x+1-2

102x+1

=1-

2

102x+1

，
且10^2x＞0，∴10^2x+1＞1，∴0＜

2

102x+1

＜2，∴-1＜f（x）＜1；
即函數的值域為 （-1，1）．
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

102x1+1

-(1-

2

102x2+1

)
=1-

2

102x1+1

-1+

2

102x2+1

=

2(102x1-102x2)

(102x1+1)(102x2+1)

；
∵x₁＜x₂，且函數y=10^x在R上為增函數，
∴102x1＜102x2，即102x1-102x2＜0；
又∵(102x1+1)(102x2+1)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）是R上的增函數．

點評：本題考查了求函數的值域問題與函數單調性的證明，是易錯題．