Question

19．“0＜a＜2”是“雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞0）的離心率大于2”的（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 先寫出雙曲線的離心率e=$\sqrt{1+\frac{9}{{a}^{2}}}$，然后判斷0＜a＜2能否得到e＞2，e＞2又能否得到0＜a＜2，這樣根據(jù)充分條件、必要條件，以及必要不充分條件的概念即可找出正確選項．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$的離心率e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+9}}{a}=\sqrt{1+\frac{9}{{a}^{2}}}$；
（1）若0＜a＜2，則0$＜{a}^{2}＜4，\frac{1}{{a}^{2}}＞\frac{1}{4}$；
∴$1+\frac{9}{{a}^{2}}＞\frac{13}{4}$；
∴$\sqrt{1+\frac{9}{{a}^{2}}}＞\frac{\sqrt{13}}{2}$，即e＞$\frac{\sqrt{13}}{2}$；
∵$\frac{\sqrt{13}}{2}＜2$；
∴$e＞\frac{\sqrt{13}}{2}$得不到e＞2；
∴“0＜a＜2”不是“雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞0）的離心率大于2”的充分條件；
（2）若雙曲線的離心率大于2；
即$\sqrt{1+\frac{9}{{a}^{2}}}＞2$，a＞0；
∴解得$0＜a＜\sqrt{3}$；
∴一定得到0＜a＜2；
∴“0＜a＜2”是“雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞0）的離心率大于2”的必要條件；
綜上得“0＜a＜2”是“雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞0）的離心率大于2”的必要不充分條件．
故選B．

點評 考查充分條件，必要條件，以及必要不充分條件的概念，雙曲線離心率的概念及計算公式，不等式的性質(zhì)．