Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=x⁴-ax（a＞0）的零點(diǎn)都在區(qū)間[0，5]上，則函數(shù)g（x）=$\frac{1}{x}$與函數(shù)h（x）=x³-a的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正整數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的所有取值中最大值為（　�。�

• A． $\frac{80}{3}$
• B． $\frac{255}{4}$
• C． $\frac{624}{5}$
• D． $\frac{1295}{6}$

Answer 1

分析 由題意根據(jù)函數(shù)f（x）=x⁴-ax（a＞0）的零點(diǎn)都在區(qū)間[0，5]上可得a的范圍，然后然后再進(jìn)行判斷．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x⁴-ax（a＞0）的零點(diǎn)都在區(qū)間[0，5]上，又f（x）=x⁴-ax=x（x³-a）
令f（x）=0，
∴x=0，或x=$\root{3}{a}$
∴$\root{3}{a}$≤5，
∴a≤125
由$\frac{1}{x}$=x³-a可得a=x³-$\frac{1}{x}$
令F（x）=x³-$\frac{1}{x}$（x≠0），則F′（x）=$3{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}$＞0恒成立
∴F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，0）上單調(diào)遞增且F（1）=F（-1）=0
∵0＜x³-$\frac{1}{x}$＜125
當(dāng)x=2，3，4，5時(shí)滿足題意，
x=5時(shí)，a=125-$\frac{1}{5}$=$\frac{624}{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出f（x）在區(qū)間[0，5]上的值域，是一道好題，屬于中檔題．