Question

6．甲、乙兩個乒乓球選手進行比賽，他們的水平相當(dāng)，規(guī)定“七局四勝”，即先贏四局者勝，若已知甲先贏了前兩局，求：
（1）乙取勝的概率；
（2）比賽打滿七局的概率；
（3）設(shè)比賽局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)甲先贏了前兩局時，乙取勝的情況有兩種：第一種是乙連勝四局；第二種是在第三局到第六局，乙贏了三局，第七局乙贏．由此能求出當(dāng)甲先贏了前兩局時，乙取勝的概率．
（2）比賽打滿七局有兩種結(jié)果：甲勝或乙勝，記“比賽打滿七局甲勝”為事件A，記“比賽打滿七局乙勝”為事件B，A，B互斥，由此能求出比賽打滿七局的概率．
（3）隨機變量X的所有可能取值為4，5，6，7，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）當(dāng)甲先贏了前兩局時，乙取勝的情況有兩種：第一種是乙連勝四局；第二種是在第三局到第六局，乙贏了三局，第七局乙贏．
在第一種情況下，乙取勝的概率為（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{16}$，
在第二種情況下，乙取勝的概率為${C}_{4}^{3}（\frac{1}{2}）^{4}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
所以當(dāng)甲先贏了前兩局時，乙取勝的概率為$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{8}$=$\frac{3}{16}$．
（2）比賽打滿七局有兩種結(jié)果：甲勝或乙勝，記“比賽打滿七局甲勝”為事件A，記“比賽打滿七局乙勝”為事件B．
則P（A）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{2}）^{4}（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{8}$，P（B）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{2}）^{4}（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{8}$，
又A，B互斥，所以比賽打滿七局的概率為P（A）+P（B）=$\frac{1}{4}$．
（3）隨機變量X的所有可能取值為4，5，6，7
P（X=4）=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
P（X=5）=C${\;}_{2}^{1}$（$\frac{1}{2}$）²（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
P（X=6）=C${\;}_{3}^{1}$（$\frac{1}{2}$）³（$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{4}$，
P（X=7）=C${\;}_{4}^{1}$（$\frac{1}{2}$）⁴（$\frac{1}{2}$）+C${\;}_{4}^{3}$（$\frac{1}{2}$）⁴•（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
所以X的分布列為

X	4	5	6	7
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$

故隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX=4×$\frac{1}{4}$+5×$\frac{1}{4}$+6×$\frac{1}{4}$+7×$\frac{1}{4}$=$\frac{11}{2}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．