Question

11．人的體重是人的身體素質(zhì)的重要指標之一．某校抽取了高二的部分學生，測出他們的體重（公斤），體重在40公斤至65公斤之間，按體重進行如下分組：第1組[40，45），第2組[45，50），第3組[50，55），第4組[55，60），第5組[60，65]，并制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第1組與第3組的頻率之比為1：3，第3組的頻數(shù)為90．
（Ⅰ）求該校抽取的學生總數(shù)以及第2組的頻率；
（Ⅱ）用這些樣本數(shù)據(jù)估計全市高二學生（學生數(shù)眾多）的體重．若從全市高二學生中任選5人，設X表示這5人中體重不低于55公斤的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設該校抽查的學生總?cè)藬?shù)為n，第2組、第3組的頻率分別為p₂，p₃，先求出p₃，由此能求出n，由p₂+0.375+（0.025+0.013+0.037）×5=1，求出p₂，由此能求出該校抽查的學生總?cè)藬?shù)和從左到右第2組的頻率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：體重不低于55公斤的學生的概率為$\frac{1}{4}$，X服從二項分布$X～B（5，\frac{1}{4}）$，由此能求出隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．

解答 （本小題滿分12分）
（Ⅰ）設該校抽查的學生總?cè)藬?shù)為n，第2組、第3組的頻率分別為p₂，p₃，
則p₃=0.025×3×5=0.375，所以$n=\frac{90}{p_3}=240$，（3分）
由p₂+0.375+（0.025+0.013+0.037）×5=1，解得p₂=0.25，
所以該校抽查的學生總?cè)藬?shù)為240人，從左到右第2組的頻率為0.25．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：體重不低于55公斤的學生的概率為$p=（0.013+0.037）×5=\frac{1}{4}$，（8分）
X服從二項分布$X～B（5，\frac{1}{4}）$，$p（X=k）=C_5^k{（\frac{1}{4}）^k}{（\frac{3}{4}）^{5-k}}$，k=0，1，2，3，4，5，（9分）
P（X=0）=${C}_{5}^{0}（\frac{3}{4}）^{5}=\frac{243}{1024}$，
P（X=1）=${C}_{5}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{4}=\frac{405}{1024}$，
P（X=2）=${C}_{5}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{270}{1024}$，
P（X=3）=${C}_{5}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{90}{1024}$，
P（X=4）=${C}_{5}^{4}（\frac{1}{4}）^{4}（\frac{3}{4}）$=$\frac{15}{1024}$，
P（X=5）=${C}_{5}^{5}（\frac{1}{4}）^{5}$=$\frac{1}{1024}$，
所以隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{243}{1024}$	$\frac{405}{1024}$	$\frac{270}{1024}$	$\frac{90}{1024}$	$\frac{15}{1024}$	$\frac{1}{1024}$

（10分）
則$EX=5×\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$．（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．