Question

4．在平面直角坐標系xOy中，已知動圓過點（2，0），且被y軸所截得的弦長為4．
（Ⅰ） 求動圓圓心的軌跡C₁的方程；
（Ⅱ） 過點P（1，2）分別作斜率為k₁，k₂的兩條直線l₁，l₂，交C₁于A，B兩點（點A，B異于點P），若k₁+k₂=0，且直線AB與圓C₂：（x-2）²+y²=$\frac{1}{2}$相切，求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設動圓圓心坐標為（x，y），半徑為r，利用點（2，0）在圓上及被y軸所截得的弦長為4，計算即可；
（Ⅱ）設直線l₁的斜率為k，通過將點P（1，2）代入拋物線y²=4x并與直線l₁聯(lián)立，計算可得直線AB的斜率，不妨設l_AB：y=-x+b，利用直線AB與圓C相切可得b=3或1，分b=3、b=1兩種情況討論即可．

解答 解：（Ⅰ）設動圓圓心坐標為（x，y），半徑為r，
由題可知$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+{y}^{2}={r}^{2}}\\{{2}^{2}+{x}^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，
∴動圓圓心的軌跡方程為：y²=4x；
（Ⅱ）設直線l₁的斜率為k，則l₁：y-2=k（x-1），l₂：y-2=-k（x-1），
點P（1，2）在拋物線y²=4x上，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y-2=k（x-1）}\end{array}\right.$，消去x得：ky²-4y+8-4k=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），△＞0恒成立，即（k-1）²＞0，有k≠1，
∴y₁y_P=$\frac{8-4k}{k}$，∵y_P=2，∴y₁=$\frac{4-2k}{k}$，
代入直線方程可得：${x}_{1}=\frac{（k-2）^{2}}{{k}^{2}}$，同理可得：x₂=$\frac{（k+2）^{2}}{{k}^{2}}$，${y}_{2}=\frac{4+2k}{-k}$，
k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{\frac{4+2k}{-k}-\frac{4-2k}{k}}{\frac{（k+2）^{2}-（k-2）^{2}}{{k}^{2}}}$=-1，
不妨設l_AB：y=-x+b，
∵直線AB與圓C相切，∴$\frac{|b-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得b=3或1，
當b=3時，直線AB過點P，舍去，
當b=1時，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，可得x²-6x+1=0，
此時△=32，∴|AB|=$\sqrt{1+1}•\sqrt{32}$=8，
∴P到直線AB的距離d=$\sqrt{2}$，
△PAB的面積為$\frac{1}{2}•d•|AB|$=4$\sqrt{2}$．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．