Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸長為2，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是左、右焦點(diǎn)，過F₂的直線L與相交于M、N兩點(diǎn)，且|MF₁|，|MN|，|NF₁|成等差數(shù)列．
（1）求|MN|；
（2）若直線L的斜率為1，求橢圓E的方程．

Answer 1

分析 （1）由|MF₁|，|MN|，|NF₁|成等差數(shù)列，可得|MF₁|+|NF₁|=2|MN|．由橢圓的定義可得：|MF₁|+|MF₂|=|NF₁|+|NF₂|=2，聯(lián)立即可解出．
（2）直線L的方程為：y=x-c．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（2-c²）x²-2cx+2c²-1=0，利用弦長公式可得：$\frac{4}{3}$=|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，代入解出c即可得出．

解答 解：（1）∵|MF₁|，|MN|，|NF₁|成等差數(shù)列，∴|MF₁|+|NF₁|=2|MN|．
由橢圓的定義可得：|MF₁|+|MF₂|=|NF₁|+|NF₂|=2，
∴|MF₂|+|NF₂|=4-2|MN|=|MN|，
∴|MN|=$\frac{4}{3}$．
（2）直線L的方程為：y=x-c．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-c}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{1-{c}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（2-c²）x²-2cx+2c²-1=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2c}{2-{c}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{c}^{2}-1}{2-{c}^{2}}$，
∴$\frac{4}{3}$=|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[\frac{4{c}^{2}}{（2-{c}^{2}）^{2}}-\frac{4（2{c}^{2}-1）}{2-{c}^{2}}]}$，
化為：8c⁴-14c²+5=0，0＜c＜1．
解得c²=$\frac{1}{2}$．
∴b²=1-c²=$\frac{1}{2}$．
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．