Question

已知⊙C經(jīng)過點A（-2，0），B（0，2），且圓心C在直線y=x上，直線L：y=kx+1與⊙C相交于P，Q點．
（1）求⊙C的方程．
（2）過點（0，1）作直線L₁⊥L，且L₁交⊙C于M，N，求四邊形PMQN的面積最大值．

Answer 1

考點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)圓心C（a，a），半徑為r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，從而可求圓C的方程；
（2）設(shè)圓心O到直線l，l₁的距離分別為d，d₁，求得d₁²+d²=1，根據(jù)垂徑定理和勾股定理得到，|PQ|=2

4-d2

，|MN|=2

4-d12

，再利用基本不等式，可求四邊形PMQN面積的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)圓心C（a，a），半徑為r．
因為圓經(jīng)過點A（-2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，
所以

(a+2)2+a2

=

a2+(a-2)2

=r
解得a=0，r=2，
所以圓C的方程是x²+y²=4；
（2）設(shè)圓心O到直線l，l₁的距離分別為d，d₁，四邊形PMQN的面積為S．
因為直線l，l₁都經(jīng)過點（0，1），且l⊥l₁，根據(jù)勾股定理，有d₁²+d²=1
又根據(jù)垂徑定理和勾股定理得到，|PQ|=2

4-d2

，|MN|=2

4-d12

∴S=

1

2

×2

4-d2

×2

4-d12

=2

12+d12d2

≤2

12+ 1 4

=7
當(dāng)且僅當(dāng)d₁=d時，等號成立，所以S的最大值為7．

點評：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓的性質(zhì)，考查四邊形面積的計算，考查基本不等式的運用，解題的關(guān)鍵是正確表示四邊形的面積，屬于中檔題．