Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，BC=2．
（1）求證：平面PBC⊥平面PDC；
（2）若∠PAB=90°，求二面角B-PD-C的正切值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）延長BA，CD交于M點，連接MP，則BM=2，A是BM的中點，AP=

1

2

BM，可得MP⊥PB．利用側(cè)面PAB⊥底面ABCD，AB⊥BC，可得BC⊥MP，MP⊥平面PBC，即可證明；
（2）通過建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，利用向量夾角公式即可得出．

解答： （1）證明：延長BA，CD交于M點，連接MP，則BM=2，
A是BM的中點，AP=

1

2

BM，
∴MP⊥PB，
又∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，AB⊥BC，
∴BC⊥平面PBM，可得BC⊥MP，
故MP⊥平面PBC，
∵MP?平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD；
（2）解：∵∠PAB=90°，∴PA⊥平面ABCD，以AB，AD，AP分別為x，y，z軸，如圖建立坐標系，
則B（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），M（-1，0，0），

BD

=（-1，1，0），

BP

=（-1，0，1），

MP

=（1，0，1），

MD

=（1，1，0）．
設(shè)平面PBD的法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁），可得

BP • m =0 BD • m =0

，
故

-x1+z1=0 -x1+y1=0

，可令x₁=1，得

m

=（1，1，1）．
設(shè)平面PMC的法向量為

n

=（x₂，y₂，z₂），可得

n • MP =0 n • MD =0

，
故

x1+z1=0 x1+y1=0

，可令x₁=1，得

n

=（1，-1，-1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

-1

3 × 3

=-

1

3

．
設(shè)二面角B-PD-C為θ，則cosθ=

1

3

，tanθ=2

2

．

點評：本題考查了通過建立空間直角坐標系利用兩個平面的法向量的夾角公式得出二面角、線面及面面垂直的判定與性質(zhì)定理、直角三角形的判定定理等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了空間想象能力，考查了推理能力，屬于難題．