Question

已知三次函數(shù)f（x）=

1

3

x³-（4m-1）x²+（15m²-2m-7）x+2在x∈（-∞，+∞）上是增函數(shù)，則m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出導(dǎo)函數(shù)，欲使函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是增函數(shù)可轉(zhuǎn)化成f′（x）＞0在區(qū)間上恒成立，再借助判別式求出參數(shù)m的范圍．

解答： 解：f′（x）=x²-2（4m-1）x+（15m²-2m-7），
∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³-（4m-1）x²+（15m²-2m-7）x+2在x∈（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（x）=x²-2（4m-1）x+（15m²-2m-7）≥0恒成立．
∴判別式△=4（4m-1）²-4（15m²-2m-7）≤0，
整理得，m²-6m+8≤0，
解得，2≤m≤4，
故答案為：[2，4]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問題的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題．