Question

17．新車商業(yè)車險(xiǎn)保費(fèi)與購車價(jià)格有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，下面是隨機(jī)采集的8組數(shù)據(jù)（x，y）（其中x（萬元）表示購車價(jià)格，y（元）表示商業(yè)車險(xiǎn)保費(fèi)）：（8，2960），（13，3830），（17，4750），（22，5500），（（25，6370）），（33，8140），（（37，8950）），（45，10700），設(shè)由這8組數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程為$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+1110，李先生2016年1月購買一輛價(jià)值20萬元的新車．
（1）試估計(jì)李先生買車時(shí)應(yīng)繳納的保費(fèi)；
（2）從2016年1月1日起，該地區(qū)納入商業(yè)車險(xiǎn)改革試點(diǎn)范圍，其中最大的變化是上一年的出險(xiǎn)次數(shù)決定了下一年的保費(fèi)倍率，具體關(guān)系如表：

上一年的出險(xiǎn)次數(shù)	0	1	2	3	4	≥5
下一年的保費(fèi)倍率	0.85	1	1.25	1.5	1.75	2
連續(xù)兩年沒有出險(xiǎn)打7折，連續(xù)三年沒有出險(xiǎn)打6折

有評估機(jī)構(gòu)從以往購買了車險(xiǎn)的車輛中隨機(jī)抽取1000輛調(diào)查，得到一年中出險(xiǎn)次數(shù)的頻數(shù)公布如表（并用相應(yīng)頻率估計(jì)車輛在2016年度出險(xiǎn)次數(shù)的概率）：

一年中的出險(xiǎn)次數(shù)	0	1	2	3	4	≥5
頻數(shù)	500	380	100	15	4	1

根據(jù)以上信息，試估計(jì)該車輛在2017年1月續(xù)保時(shí)應(yīng)繳納的保費(fèi)（精確到元），并分析車險(xiǎn)新政是否總體上減輕了車主負(fù)擔(dān)，（假設(shè)車輛下一年與上一年都購買相同的商業(yè)車險(xiǎn)產(chǎn)品進(jìn)行續(xù)保）

Answer 1

分析 （1）求出樣本平均數(shù)，代入直線方程，即可求出線性回歸方程；
（2）求出2017年保費(fèi)的期望倍率，即可估計(jì)2017年1月應(yīng)繳納保費(fèi)．

解答 解：（1）$\overline{x}=25$萬元，$\overline{y}=6400$元，…（2分）
直線$\hat y=\hat bx+1110$經(jīng)過樣本中心$（\bar x，\;\;\bar y）$，
解得$\hat b=211.6$，…（4分）
則回歸直線方程為$\hat y=211.6x+1110$，…（5分）
李先生購買20萬元車時(shí)應(yīng)繳納保費(fèi)211.6×20+1110=5342元．…（6分）
（2）設(shè)該車輛2017年的保費(fèi)倍率為X，則X的可能取值為0.85，1，1.25，1.75，2
且X的分布列為

X	0.85	1	1.25	1.5	1.75	2
P	0.5	0.38	0.1	0.015	0.004	0.001

…（9分）
2017年保費(fèi)的期望倍率為E（X）=0.85×0.5+1×0.38+1.25×0.1+1.5×0.015+1.75×0.004+2×0.001=0.9615．…（10分）
該車輛估計(jì)2017年1月應(yīng)繳納保費(fèi)為5342×0.9615≈5136．

點(diǎn)評 本題考查線性回歸方程，考查期望的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的了，屬于中檔題．