【題目】已知函數(shù).
(1)判斷極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)若x>0時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍
【答案】(1)0
(2)
【解析】
(1)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值的關(guān)系,分別求得函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)ex>f(x),(x>0),可化為(1﹣x)ex+ax﹣1<0.設(shè)h(x)=(1﹣x)ex+ax﹣1,(x>0),則問題等價(jià)于當(dāng)x>0時(shí),h(x)<0.,根據(jù)函數(shù)h(x)的性質(zhì),分類討論,即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(1)由f(x)a,得f'(x).x≠0;
設(shè)g(x)=(x﹣1)ex+1,則g'(x)=xex,
當(dāng)x∈(﹣∞,0)時(shí),g'(x)<0,所以g(x)在(﹣∞,0)上是減函數(shù),
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
所以g(x)≥g(0)=0,所以,
所以f(x)在定義域上是增函數(shù),f(x)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.
(2)ex>f(x)(x>0),可化為(1﹣x)ex+ax﹣1<0.
令h(x)=(1﹣x)ex+ax﹣1,(x>0),則問題等價(jià)于當(dāng)x>0時(shí),h(x)<0.
∴h'(x)=﹣xex+a,
令m(x)=﹣xex+a,則m(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).
當(dāng)a≤0時(shí),m(x)<m(0)=a≤0.
所以h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).
所以h(x)<h(0)=0.
②當(dāng)a>0時(shí),m(0)=a>0,
m(a)=﹣aea+a=a(1﹣ea)<0,
所以存在x0∈(0,a),使m(x0)=0.
當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),m(x)>0,h'(x)>0,h(x)在(0,x0)上是增函數(shù).
因?yàn)?/span>h(0)=0,所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),h(x)>0,不滿足題意.
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,0].
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知.在單位圓上有兩個(gè)定點(diǎn)、,,是上一動(dòng)點(diǎn),在直線上存在一點(diǎn),滿足(為邊的中點(diǎn)).試求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形中,,,點(diǎn)在線段上,且,現(xiàn)將沿折到的位置,連結(jié),,如圖2.
(1)若點(diǎn)在線段上,且,證明:;
(2)記平面與平面的交線為.若二面角為,求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是菱形,,平面,,點(diǎn)、分別為和中點(diǎn).
(1)求證:直線平面;
(2)求與平面所成角的正弦值.
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【題目】某工廠共有員工5000人,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100位員工,對(duì)他們每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)表格如下:
(1)工廠規(guī)定:每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)超過3200件的員工,會(huì)被評(píng)為“生產(chǎn)能手”稱號(hào).由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手”稱號(hào)與性別有關(guān)?
(2)為提高員工勞動(dòng)的積極性,該工廠實(shí)行累進(jìn)計(jì)件工資制:規(guī)定每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)在定額2600件以內(nèi)的(包括2600件),計(jì)件單價(jià)為1元;超出(0,200]件的部分,累進(jìn)計(jì)件單價(jià)為1.2元;超出(200,400]件的部分,累進(jìn)計(jì)件單價(jià)為1.3元;超出400件以上的部分,累進(jìn)計(jì)件單價(jià)為1.4元.將這4段的頻率視為相應(yīng)的概率,在該廠男員工中隨機(jī)選取1人,女員工中隨機(jī)選取2人進(jìn)行工資調(diào)查,設(shè)實(shí)得計(jì)件工資(實(shí)得計(jì)件工資=定額計(jì)件工資+超定額計(jì)件工資)超過3100元的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
如圖,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AC⊥SD;
(Ⅱ)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大。
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE:EC的值;若不存在,試說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐中,底面為等腰梯形,,,,丄底面.
(1)證明:平面平面;
(2)過的平面交于點(diǎn),若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進(jìn)行如下試驗(yàn):將200只小鼠隨機(jī)分成兩組,每組100只,其中組小鼠給服甲離子溶液,組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:
記為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”,根據(jù)直方圖得到的估計(jì)值為.
(1)求乙離子殘留百分比直方圖中的值;
(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知?jiǎng)又本的參數(shù)方程:,(為參數(shù),) ,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線與曲線恰好有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí),求直線的一般方程.
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