Question

8．己知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{n{a_n}}}{{（2n+1）{{.2}^n}}}$是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）令c_n=$\frac{{{{（n+1）}^2}+1}}{{n（n+1）{a_{n+2}}}}$，記數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，其中n∈N^*，求S_n的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，由于各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，可得a_n+1=2a_n，再利用a₂+a₄=2a₃+4，及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）b_n=$\frac{{n{a_n}}}{{（2n+1）{{.2}^n}}}$=$\frac{n}{2n+1}$，假設(shè)存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列，則$（\frac{m}{2m+1}）^{2}=\frac{1}{3}×\frac{n}{2n+1}$，化為$\frac{3}{n}$=$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$，由$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$＞0，解出m的范圍，再根據(jù)正整數(shù)m，n（1＜m＜n）即可得出．
（III）c_n=$\frac{1}{2}•\frac{{n}^{2}+2n+2}{n（n+1）•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}[\frac{1}{{2}^{n+1}}+\frac{1}{n•{2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}]$，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法可得S_n，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）由a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
∵各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，
∴a_n+1=2a_n，
∴數(shù)列{a_n}是以2為公比的等比數(shù)列．
∵a₂+a₄=2a₃+4，
∴$2{a}_{1}+{a}_{1}×{2}^{3}$=$2{a}_{1}×{2}^{2}$+4，解得a₁=2．
∴${a}_{n}={2}^{n}$．
（II）b_n=$\frac{{n{a_n}}}{{（2n+1）{{.2}^n}}}$=$\frac{n}{2n+1}$，假設(shè)存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列，
則$（\frac{m}{2m+1}）^{2}=\frac{1}{3}×\frac{n}{2n+1}$，化為$\frac{3}{n}$=$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$，
由$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$＞0，解得$1-\frac{\sqrt{6}}{2}＜m＜1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，
又正整數(shù)m，n（1＜m＜n），∴m=2，此時(shí)n=12．
因此當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=12時(shí)，使得b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列．
（III）c_n=$\frac{{{{（n+1）}^2}+1}}{{n（n+1）{a_{n+2}}}}$=$\frac{1}{2}•\frac{{n}^{2}+2n+2}{n（n+1）•{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$$[\frac{{n}^{2}+n}{n（n+1）×{2}^{n+1}}+\frac{n+2}{n（n+1）×{2}^{n+1}}]$=$\frac{1}{2}[\frac{1}{{2}^{n+1}}+\frac{1}{n•{2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}]$，
∴S_n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n+1}}）$+$\frac{1}{2}[（\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×{2}^{2}}）+（\frac{1}{2×{2}^{2}}-\frac{1}{3×{2}^{3}}）$+…+$（\frac{1}{n•{2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}）]$
=$\frac{1}{2}×\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{2}$$[\frac{1}{2}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}]$=$\frac{1}{2}[1-\frac{1}{{2}^{n+1}}•\frac{n+2}{n+1}]$，
∵數(shù)列$\{\frac{1}{{2}^{n+1}}•\frac{n+2}{n+1}\}$即$\{\frac{1}{{2}^{n+1}}（1+\frac{1}{n+1}）\}$單調(diào)遞減，
∴0＜$\frac{1}{{2}^{n+1}}•\frac{n+2}{n+1}$≤$\frac{1}{{2}^{2}}•\frac{1+2}{1+1}$=$\frac{3}{8}$．
∴$\frac{5}{16}$≤$\frac{1}{2}[1-\frac{1}{{2}^{n+1}}•\frac{n+2}{n+1}]$＜$\frac{1}{2}$．
∴S_n的取值范圍是$[\frac{5}{16}，\frac{1}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．