Question

19．如圖，在平面直角坐標系xOy中，設a₁=2，有一組圓心在x軸正半軸上的圓A_n（n=1，2，…）與x軸的交點分別為A₀（1，0）和A_n+1（a_n+1，0），過圓心A_n作垂直于x軸的直線l_n，在第一象限與圓A_n交于點B_n（a_n，b_n）
（Ⅰ）試求數(shù)列{a_n}的通項公式
（Ⅱ）設曲邊形A_n+1B_nB_n+1（陰影所示）的面積為S_n，若對任意n∈N^*，$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$≤m恒成立，試求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件可得a_n+1-1=2（a_n-1），所以數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，從而${a}_{n}={2}^{n-1}+1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得各點坐標為B_n（2^n-1+1，2^n-1），B_n+1（2ⁿ+1，2ⁿ），且${A}_{n}（{2}^{n-1}+1，0）$，${A}_{n+1}（{2}^{n}+1，0）$，從而${S}_{n}={S}_{梯形{A}_{n}{B}_{n}{B}_{n+1}{A}_{n+1}}$-${S}_{扇形{A}_{n}{B}_{n}{A}_{n+1}}$，計算可得$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{4}{6-π}•（\frac{1}{4}）^{n-1}$，從而$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{16}{18-3π}[1-（\frac{1}{4}）^{n}]$，所以實數(shù)m≥$\frac{16}{18-3π}$．

解答 解：（Ⅰ）由條件可得，a_n+1-1=2（a_n-1），
∴數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列．
又∵a₁-1=1，
所以${a}_{n}-1={2}^{n-1}$，
${a}_{n}={2}^{n-1}+1$；
（Ⅱ）∵b_n=${a}_{n}-1={2}^{n-1}$，
∴B_n（2^n-1+1，2^n-1），
∴B_n+1（2ⁿ+1，2ⁿ），且${A}_{n}（{2}^{n-1}+1，0）$，${A}_{n+1}（{2}^{n}+1，0）$，
${S}_{n}={S}_{梯形{A}_{n}{B}_{n}{B}_{n+1}{A}_{n+1}}$-${S}_{扇形{A}_{n}{B}_{n}{A}_{n+1}}$
=$\frac{1}{2}×{2}^{n-1}×（{2}^{n-1}+{2}^{n}）$-$\frac{1}{4}π×（{2}^{n-1}）^{2}$
=$\frac{6-π}{4}×{4}^{n-1}$，
所以$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{4}{6-π}•（\frac{1}{4}）^{n-1}$，
所以$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{4}{6-π}[1+\frac{1}{4}+…+（\frac{1}{4}）^{n-1}]$
=$\frac{4}{6-π}•\frac{1-（\frac{1}{4}）^{n}}{1-\frac{1}{4}}$
=$\frac{16}{18-3π}[1-（\frac{1}{4}）^{n}]$
＜$\frac{16}{18-3π}$，
故可得實數(shù)m≥$\frac{16}{18-3π}$．

點評 本題考查了遞推式的應用，面積的求法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．