20．求函數(shù)y=-tan3x+4tanx+1，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]值域．

分析 換元可化已知問題為y=-m3+4m+1在m∈[-1，1]的值域，導(dǎo)數(shù)法判單調(diào)性可得．

解答 解：∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴m=tanx∈[-1，1]，
換元可得y=-m3+4m+1，m∈[-1，1]，
求導(dǎo)數(shù)可得y′=-3m2+4＞0，
∴關(guān)于m的函數(shù)y=-m3+4m+1在m∈[-1，1]單調(diào)遞增，
∴當(dāng)m=-1時，函數(shù)取最小值-2，
當(dāng)m=1時，函數(shù)取最大值4，
∴函數(shù)的值域為[-2，4]

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，換元并用導(dǎo)數(shù)法求解函數(shù)的最值是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．

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