Question

11．橢圓上的點(diǎn)A（-3，0）關(guān)于直線y=x和y=-x的對稱點(diǎn)分別為橢圓的焦點(diǎn)F₁和F₂，P為橢圓上任意一點(diǎn)，則|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|的最大值為18．

Answer 1

分析 由對稱性得到橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，可知橢圓是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求出離心率，代入焦半徑公式，可得|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=$18-\frac{1}{2}{{y}_{0}}^{2}$，結(jié)合P點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍得答案．

解答 解：點(diǎn)A（-3，0）關(guān)于直線y=x和y=-x的對稱點(diǎn)分別為（0，-3），（0，3），
即F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3），
∴b=c=3，則a²=b²+c²=18，a=$3\sqrt{2}$．
∴橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{18}+\frac{{x}^{2}}{9}=1$．
設(shè)P（x₀，y₀），則-3≤y₀≤3．
∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=a+ey₀=3$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{0}$，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=a-ey₀=$3\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{0}$．
∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=（3$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{0}$）（$3\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{0}$）=$18-\frac{1}{2}{{y}_{0}}^{2}$，
當(dāng)y₀=0時(shí)，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|有最大值為18．
故答案為：18．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，訓(xùn)練了橢圓焦半徑公式的應(yīng)用，屬中檔題．