Question

1．已知點(diǎn)R（x₀，y₀）在Γ：y²=4x上，以R為切點(diǎn)的Γ的切線的斜率為$\frac{2}{{y}_{0}}$．過Γ外一點(diǎn)A（-2，-1）作Γ的兩條切線AB、AC，切點(diǎn)為B、C，作平行于BC的Γ的切線（D為切點(diǎn)）分別交AB、AC于點(diǎn)M、N（如圖）．
（1）求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）若直線AD與BC的交點(diǎn)為E，證明D是AE的中點(diǎn)；
（3）對于點(diǎn)A在Γ外，可以證明（2）的結(jié)論恒成立．若將由過Γ外一點(diǎn)的兩條切線及第三條切線（平行于兩切點(diǎn)的連線）所圍成的三角形叫“切線三角形”如△AMN，將M、N作為Γ外一點(diǎn)，再作“切線三角形”，并繼續(xù)依這樣的方法作下去…，利用“切線三角形”的面積和計(jì)算由拋物線及BC所圍成的陰影部分面積T．

Answer 1

分析 （1）設(shè)B（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），C（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），由題意可得切線的斜率，再由兩點(diǎn)的斜率公式，計(jì)算即可得到所求B，C的坐標(biāo)；
（2）求出BC的斜率，設(shè)D（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），求得切線的斜率，可得D的坐標(biāo)，求得直線BC的方程，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得A關(guān)于D的對稱點(diǎn)在直線BC上，即可得證；
（3）由題意可得，MN為三角形ABC的中位線，且E為BC的中點(diǎn)，D為MN的中點(diǎn)，求得三角形ABC的面積，再由三角形的面積之比與對應(yīng)邊的比的關(guān)系，可得由拋物線外作出的“切線三角形”的面積構(gòu)成以$\frac{1}{4}$S為首項(xiàng)，$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列，運(yùn)用無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，可得所有面積和，即可得到所求面積T．

解答 解：（1）設(shè)B（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），C（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
由題意可得以B為切點(diǎn)的Γ的切線的斜率為$\frac{2}{{y}_{1}}$，
由兩點(diǎn)的斜率公式可得k_AB=$\frac{{y}_{1}+1}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}+2}$=$\frac{2}{{y}_{1}}$，
化為y₁²+2y₁-8=0，解得y₁=2（-4舍去），
同理可得y₂=-4，
可得B（1，2），C（4，-4）；
（2）證明：由（1）可得k_BC=$\frac{2+4}{1-4}$=-2，
設(shè)D（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），可得$\frac{2}{m}$=-2，解得m=-1，
則D（$\frac{1}{4}$，-1），
直線BC的方程為y-2=-2（x-1），
可得2x+y-4=0，
由A（-2，-1）關(guān)于D的對稱點(diǎn)為（$\frac{1}{2}$+2，-2+1），即為（$\frac{5}{2}$，-1），
滿足直線BC的方程，則D是AE的中點(diǎn)；
（3）由題意可得，MN為三角形ABC的中位線，且E為BC的中點(diǎn)，
D為MN的中點(diǎn)，
由|BC|=$\sqrt{（1-4）^{2}+（2+4）^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
A到直線BC的距離為d=$\frac{|-4-1-4|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{9}{\sqrt{5}}$，
可得△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$d•|BC|=$\frac{27}{2}$．
由MN為△ABC的中位線，可得S_△AMN=$\frac{1}{4}$S，
過M的切線為MB，MD，與BD平行的切線設(shè)為FG，
可得S_△MFG=$\frac{1}{4}$S_△MBD=$\frac{1}{4}$S_△MAD=$\frac{1}{8}$S_△MAN=$\frac{1}{32}$S，
設(shè)過N的切線為NC，ND，與CD平行的切線設(shè)為KL，
同理可得S_△NKL=$\frac{1}{32}$S，
即有作出的兩個(gè)“切線三角形”的面積和為$\frac{1}{16}$S，
同理可得，過F，G，K，L作出的四個(gè)“切線三角形”的面積相等，
均為$\frac{1}{256}$S，其和為$\frac{1}{64}$S，
即所有“切線三角形”的面積和為：$\frac{1}{4}$S+$\frac{1}{16}$S+$\frac{1}{64}$S+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$S+…
=$\frac{\frac{1}{4}S}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}$S=$\frac{1}{3}$×$\frac{27}{2}$=$\frac{9}{2}$；
則拋物線及BC所圍成的陰影部分面積為S-$\frac{1}{3}$S=$\frac{2}{3}$S=$\frac{2}{3}$×$\frac{27}{2}$=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，主要是相切的條件，考查直線的斜率和方程的運(yùn)用，同時(shí)考查三角形的面積的求法，注意運(yùn)用三角形面積之比與對應(yīng)邊的比的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，具有一定的難度．