Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax²-x+xlnx，其中a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線x-2y-3=0，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過f′（1）=-2，解得a即可；（Ⅱ）分離參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為$a≤\frac{1-lnx}{x}$恒成立，令$g（x）=\frac{1-lnx}{x}$（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 解：（I）f′（x）=2ax+lnx，
由題意f′（1）=-2，
得2a=-2，解得a=-1；                     
（Ⅱ）f（x）的定義域為（0，+∞），
因為f（x）≤0恒成立，
所以ax-1+lnx≤0恒成立，
即$a≤\frac{1-lnx}{x}$恒成立，
令$g（x）=\frac{1-lnx}{x}$（x＞0），
則$g′（x）=\frac{lnx-2}{x^2}$，
由g′（x）＞0得x＞e²；
由g′（x）＜0得0＜x＜e²．
所以g（x）在（0，e²）上單調(diào)遞減，
在（e²，+∞）上單調(diào)遞增，
因此g（x）的最小值為$g（{e^2}）=-\frac{1}{e^2}$，
又$a≤\frac{1-lnx}{x}$恒成立，
故$a≤-\frac{1}{e^2}$，
即a的取值范圍為$（-∞，-\frac{1}{e^2}]$．

點評 本題考查了曲線的切線問題，考查函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．