Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB的中點．
（Ⅰ）求證：AM∥平面PCD．
（Ⅱ）設(shè)點N是線段CD上一動點，當(dāng)直線MN于平面PAB所成的角最大時，求DN的長．

Answer 1

分析 （I）取PC的中點H，連結(jié)MH，DH．則利用中位線定理可得出四邊形AMHD是平行四邊形，于是AM∥DH，從而得出AM∥平面PCD；
（II）以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則$\overrightarrow{AD}$為平面PAB的法向量，設(shè)$\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{DC}$，求出$\overrightarrow{MN}$的坐標(biāo)，計算|cos＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{MN}$＞|的最大值對應(yīng)的λ，得出$\overrightarrow{DN}$的坐標(biāo)，從而得出DN的值．

解答 證明：（I）取PC的中點H，連結(jié)MH，DH．
∵M(jìn)，H是PB，PC的中點，
∴MH$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，又AD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，
∴MH$\stackrel{∥}{=}$AD，
∴四邊形AMHD是平行四邊形，
∴AM∥DH，又AM?平面PCD，DH?平面PCD，
∴AM∥平面PCD．
（II）以A為原點，以AD，AB，AP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則A（0，0，0），M（0，1，1），D（1，0，0），C（2，2，0）．
∴$\overrightarrow{AM}$=（0，1，1），$\overrightarrow{DC}$=（1，2，0），$\overrightarrow{AD}$=（1，0，0）．
設(shè)$\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{DC}$（0≤λ≤1），
則$\overrightarrow{DN}$=（λ，2λ，0）．
∴$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$=（1+λ，2λ，0），∴$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$=（1+λ，2λ-1，-1）．
∵AD⊥AB，AD⊥PA，PA∩AB=A，
∴AD⊥平面PAB，
∴$\overrightarrow{AD}$=（1，0，0）為平面PAB的一個法向量．
∴cos＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{MN}$＞=$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{MN}|}$=$\frac{1+λ}{\sqrt{（1+λ）^{2}+（2λ-1）^{2}+1}}$=$\frac{1+λ}{\sqrt{5（1+λ）^{2}-12（1+λ）+10}}$
=$\frac{1}{\sqrt{5-\frac{12}{1+λ}+10（\frac{1}{1+λ}）^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{10（\frac{1}{1+λ}-\frac{3}{5}）^{2}+\frac{7}{5}}}$．
設(shè)直線MN與平面PAB所成成的角為θ，
則sinθ=$\frac{1}{\sqrt{10（\frac{1}{1+λ}-\frac{3}{5}）^{2}+\frac{7}{5}}}$．
∴當(dāng)$\frac{1}{1+λ}$=$\frac{3}{5}$即λ=$\frac{2}{3}$時，sinθ取得最大值．
此時$\overrightarrow{DN}$=（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$，0），∴DN=$|\overrightarrow{DN}|$=$\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{16}{9}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面角的計算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．