Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{cos2x}{sin（x+\frac{π}{4}）}$
（I）如果f（α）=$\frac{4}{3}$，試求sin2α的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)二倍角公式和兩角和的正弦公式，將f（x）化簡為f（x）=2cos（x+$\frac{π}{4}$），將f（α）=$\frac{4}{3}$，化簡可求得cos（（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2}{3}$，根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式，即可求得sin2α的值；
（Ⅱ）根據(jù)余弦函數(shù)圖象，即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{cos2x}{sin（x+\frac{π}{4}）}$=$\frac{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}{\frac{\sqrt{2}}{2}（sinx+cosx）}$=$\frac{\sqrt{2}（cosx+sinx）（cosx-sinx）}{sinx+cosx}$，
=$\sqrt{2}$（cosx-sinx），
=2cos（x+$\frac{π}{4}$），
f（α）=$\frac{4}{3}$，即：2cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{3}$，
即cos（（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2}{3}$，
sin2α=-cos（2α+$\frac{π}{2}$），
=-cos2（α+$\frac{π}{4}$），
=-2cos²（（α+$\frac{π}{4}$）+1，
=-2×$\frac{4}{9}$+1，
=$\frac{1}{9}$，
∴sin2α=$\frac{1}{9}$；
（Ⅱ）f（x）=2cos（x+$\frac{π}{4}$），
∴當(dāng)2kπ-π≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ，k∈Z，f（x）單調(diào)遞增，
∴x∈[2kπ-$\frac{5π}{4}$，2kπ-$\frac{π}{4}$]，k∈Z，f（x）單調(diào)遞增；
同理x∈[2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$，]，k∈Z，f（x）單調(diào)遞減；
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[2kπ-$\frac{5π}{4}$，2kπ-$\frac{π}{4}$]，
單調(diào)遞減區(qū)間為：[2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了三角公式、兩角和與差的三角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．