Question

8．設y=f（x）是R上的奇函數，且f（x+2）=-f（x），當0≤x≤1時，f（x）=x，寫出函數f（x）在R上的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 根據條件f（x+2）=-f（x），可得f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），周期為4；根據奇函數，得出f（1+x）=f（1-x）．函數關于x=1對稱，其關于原點對稱，
由有0≤x≤1時，f（x）=x，可畫出整個函數圖象，結合圖象得出函數單調區(qū)間．

解答 解：∵由f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的周期函數，
∵y=f（x）是R上的奇函數，
∴f[（x-1）+2]=-f（x-1）=f[-（x-1）]，
∴f（1+x）=f（1-x）．
故知函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
又0≤x≤1時，f（x）=x，且f（x）的圖象關于原點成中心對稱，則f（x）的圖象如圖所示．

函數f（x）的單調遞增區(qū)間為[4k-1，4k+1]（k∈Z），
單調遞減區(qū)間[4k+1，4k+3]（k∈Z）．

點評 本題考查了抽象函數奇偶性和周期性的綜合應用，應用數學結合的方法得出函數的單調區(qū)間．