Question

18．已知函數f（x）=1og₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數，則f（x）的最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用函數是偶函數定義，求出k，然后求解函數的最值．

解答 解：函數f（x）=1og₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數，
可得：f（-x）=f（x），即：1og₄（4^-x+1）-kx=1og₄（4^x+1）+kx，
可得1og₄（4^x+1）-1og₄4^x-kx=1og₄（4^x+1）+kx，
即：-x-kx=kx，解得k=-$\frac{1}{2}$．
知函數f（x）=1og₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x．當x＞0時，1og₄（4^x+1）＞1og₄4^x=x，
1og₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x＞x-$\frac{1}{2}x$=$\frac{1}{2}x$，函數f（x）=1og₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x．是增函數，
x＜0時，f（x）=1og₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x是減函數，所以函數在x=0時取得最小值．
f（0）=1og₄（4⁰+1）-0=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查函數的最值的求法，函數的奇偶性的性質與應用，考查轉化思想以及計算能力．