Question

13．大學(xué)開設(shè)甲、乙、丙三門選修課供學(xué)生任意選修（也可不選），假設(shè)學(xué)生是否選修哪門課彼此互不影響．已知某學(xué)生只選修甲一門課的概率為0.08，選修甲和乙兩門課的概率為0.12，至少選修一門的概率是0.88．
（1）求該學(xué)生選修甲、乙、丙的概率分別是多少？
（2）用ξ表示該學(xué)生選修的課程門數(shù)和沒有選修的課程門數(shù)的乘積，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)該學(xué)生選修甲、乙、丙的概率分別為x、y、z，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和對立事件概率計(jì)算公式列出方程組，能求出該學(xué)生選修甲、乙、丙的概率．
（2）依題意知ξ的可能取值為0，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)該學(xué)生選修甲、乙、丙的概率分別為x、y、z
由題意知$\left\{\begin{array}{l}x（1-y）（1-z）=0.08\\ xy（1-z）=0.12\\ 1-（1-x）（1-y）（1-z）=0.88\end{array}\right.$，（4分）
解之得$\left\{\begin{array}{l}x=0.4\\ y=0.6\\ z=0.5\end{array}\right.$，
∴該學(xué)生選修甲、乙、丙的概率分別是0.4，0.6，0.5．（6分）
（2）依題意知ξ的可能取值為0，2，（7分）
∴P（ξ=0）=xyz+（1-x）（1-y）（1-z）=0.4×0.5×0.6+（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.24，（9分）
∴P（ξ=2）=1-P（ξ=0）=0.76
（或：僅僅選甲的概率為0.08，僅僅選乙概率為0.18，僅僅選丙的概率為0.12，合計(jì)為0.38，同樣僅僅不選甲、僅僅不選乙、僅僅不選丙的概率和也為0.38，故P（ξ=2）=0.38+0.38=0.76）（9分）
則ξ的分布列為

ξ	0	2
P	0.24	0.76

∴ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52．（12分）

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式和對立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．