Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=

an-1

1+an-1

，則

lim

n→∞

（a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a_n=

an-1

1+an-1

，得：

1

an

-

1

an-1

=1，由此得數(shù)列{

1

an

}是以首項(xiàng)

1

a1

=1，公差d=1的等差數(shù)列，可求得a_n=

1

n

，a_na_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)求和法得a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=

n

n+1

，故可求得結(jié)論．

解答： 解：由a_n=

an-1

1+an-1

，得：

1

an

-

1

an-1

=1，
∴數(shù)列{

1

an

}是以首項(xiàng)

1

a1

=1，公差d=1的等差數(shù)列，
∴

1

an

=n，a_n=

1

n

，
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
∴

lim

n→∞

（a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1）=

lim

n→∞

n

n+1

=1．
故答案為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．