【題目】已知函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若，證明：；

（2）若時，都有，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）當時，，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并求出最小值，即可證明；

（2）令，由時，都有，可得在上恒成立，利用導數(shù)判斷在的單調(diào)性，分別討論和兩種情況，即可得到的取值范圍.

（1）由題意，當時，，

所以，當時，；

當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增；

所以在時取得極小值，也是最小值.

所以.

（2）令，，

由時，都有，所以在上恒成立.

由，令，

則在上恒成立.

所以在上單調(diào)遞增，又，

①當時，，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，即，滿足題意.

②當時，因為在上單調(diào)遞增，

所以，

存在，使得當時，，在上單調(diào)遞減，

所以當時，，這與在上恒成立矛盾.

綜上所述，，即實數(shù)a的取值范圍.

練習冊系列答案
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其中0＜a＜1，0＜b＜1.

（1）求購買該商品的3位顧客中，恰有1位選擇分4期付款的概率；

（2）商場銷售一件該商品，若顧客選擇分4期付款，則商場獲得的利潤為2000元；若顧客選擇分5期付款，則商場獲得的利潤為2500元；若顧客選擇分6期付款，則商場獲得的利潤為3000元，假設(shè)該商場銷售兩件該商品所獲得的利潤為X（單位：元），

（i）設(shè)X＝5500時的概率為m，求當m取最大值時，利潤X的分布列和數(shù)學期望；

（ii）設(shè)某數(shù)列{xn}滿足x1＝0.4，xn＝a，2xn+1＝b，若a＜0.25，求n的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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甲82 81 79 78 95 88 93 84

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