Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$sin x，cos 2x），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（Ⅰ）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．
（Ⅱ）求 f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （I）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{3}sinxcosx$$-\frac{1}{2}$cos2x=$sin（2x-\frac{π}{6}）$．
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，$sin（2x-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{1}{2}，1]$．即可得出f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．
（II）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得即可得出f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{3}sinxcosx$$-\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
∴$sin（2x-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{1}{2}，1]$．
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值分別為1，$-\frac{1}{2}$．
（II）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z）．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]$（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積的關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．