Question

20．已知a，b，c均為正實數(shù)，求證：
（1）$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥$\frac{4}{a+b}$；
（2）$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{2c}$≥$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$．

Answer 1

分析 （1）運用兩個正數(shù)的均值不等式，可得a+b≥2$\sqrt{ab}$，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，相乘即可得證；
（2）由（1）可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥$\frac{4}{a+b}$；同理可得$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$≥$\frac{4}{b+c}$；$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$≥$\frac{4}{c+a}$．三式相加，整理即可得證．

解答 證明：（1）a，b均為正實數(shù)，
可得a+b≥2$\sqrt{ab}$，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，
相乘可得（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）≥2$\sqrt{ab}$•2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b，取得等號．
則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥$\frac{4}{a+b}$；
（2）由（1）可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥$\frac{4}{a+b}$；
同理，由b，c為正實數(shù)，可得$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$≥$\frac{4}{b+c}$；
由c，a為正實數(shù)，可得$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$≥$\frac{4}{c+a}$．
相加可得，2（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）≥$\frac{4}{a+b}$+$\frac{4}{b+c}$+$\frac{4}{c+a}$，
即有$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{2c}$≥$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用基本不等式和累加法，以及不等式的性質(zhì)，考查運算和推理能力，屬于中檔題．