Question

17．設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1]=1，[0.5]=0，已知函數(shù)f（x）=$\frac{[x]}{x}$-k（x＞0），若方程f（x）=0有且僅有3個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． $（{\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}]$
• B． $（{\frac{2}{3}，\frac{3}{4}}]$
• C． $（{\frac{3}{4}，\frac{4}{5}}]$
• D． $（{\frac{4}{5}，\frac{5}{6}}）$

Answer 1

分析 由f（x）=0得$\frac{[x]}{x}$=k，令g（x）=$\frac{[x]}{x}$，作出g（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到k的取值范圍．

解答 解：由f（x）=$\frac{[x]}{x}$-k=0得$\frac{[x]}{x}$=k，
若x＞0，設(shè)g（x）=$\frac{[x]}{x}$，
則當(dāng)0＜x＜1，[x]=0，此時(shí)g（x）=0，
當(dāng)1≤x＜2，[x]=1，此時(shí)g（x）=$\frac{1}{x}$，此時(shí)$\frac{1}{2}＜g（x）≤1$，
當(dāng)2≤x＜3，[x]=2，此時(shí)g（x）=$\frac{2}{x}$，此時(shí)$\frac{2}{3}$＜g（x）≤1，
當(dāng)3≤x＜4，[x]=3，此時(shí)g（x）=$\frac{3}{x}$，此時(shí)$\frac{3}{4}$＜g（x）≤1，
當(dāng)4≤x＜5，[x]=4，此時(shí)g（x）=$\frac{4}{x}$，此時(shí)$\frac{4}{5}$＜g（x）≤1，
作出函數(shù)g（x）的圖象，
要使f（x）=$\frac{[x]}{x}$-k有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)g（x）=k有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
則由圖象可知$\frac{3}{4}$＜k≤$\frac{4}{5}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)和方程之間的關(guān)系構(gòu)造函數(shù)g（x），利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．難度較大．