Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)和為12，且a₁，a₂，a₄成公比不為1的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求 {a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記b_n=

an

n•2n

，是否存在正整數(shù)，使得b₁+b₂+…+b_n＞

2014

1009

，對?n＞M（n∈N₊）恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由題意可得

3a1+3d=12 (a1+d)2=a1(a1+3d)

，由此能求出a_n=2n．
（Ⅱ）b_n=

an

n•2n

=(

1

2

)n-1，從而b₁+b₂+…+b_n=2-（

1

2

）^n-1，進(jìn)而得到2-(

1

2

)n-1＞2-

4

1009

，由此能求出M的最小值為8．

解答： 解：（I）由題意可得：

a1+a2+a3=12 a22=a1a4

，
設(shè){a_n}的公差為d，
則

3a1+3d=12 (a1+d)2=a1(a1+3d)

，
解得a₁=2，d=2或a₁=4，d=0．
∵a₁，a₂，a₄成公比不為1的等比數(shù)列，
∴d=2，故a_n=2n．
（Ⅱ）∵b_n=

an

n•2n

=(

1

2

)n-1，
∴b₁+b₂+…+b_n
=

1•[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=2-（

1

2

）^n-1，
∵b₁+b₂+…+b_n＞

2014

1009

，
∴2-(

1

2

)n-1＞2-

4

1009

，
∴（

1

2

）^n-1＜

4

1009

，
∴(

1

2

)n+1＜

1

1009

，解得n≥9，
∴M≥8，故M的最小值為8．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)值的最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．