Question

如圖4所示，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是棱形，其邊長為4，∠BAD=60°，點M，N，E分別在棱AA₁，BB₁，CC₁上，過M，N，E的面與棱DD₁交于F，AM=2，BN=4，CE=5．求：
（1）求證：平面MNEF⊥平面ABB₁A₁；
（2）求平面MNEF與底面ABCD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知MF∥NE，MN∥EF，從而四邊形MNEF是平行四邊形，取MN中點G，AB中點Q，QG是梯形的中位線，從而QG=

1

2

（AM+BN）=3，進而四邊形QGFD為平行四邊形，由△ABD是正三角形，得DQ⊥平面AA₁B₁B，由此能平面MNEF⊥平面AA₁B₁B．
（2）以DQ、DC、DD₁為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面MNEF的法向量和平面ABCD的法向量，由此利用向量法能求出平面MNEF與底面ABCD所成的銳二面角的余弦值．

解答： （1）證明：∵平面ADD₁A₁∩平面EFMN=MF，平面BB₁C₁C∩平面EFMN=NE，
∴MF∥NE，同理MN∥EF，∴四邊形MNEF是平行四邊形，
∵梯形ACEM與梯形BNFD有公共中位線，
∴AM+CE=BN+DF，∴DF=3，
取MN中點G，AB中點Q，∵QG是梯形ABNM的中位線，∴QG=

1

2

（AM+BN）=3，
∴QG∥DF，QG=DF，∴四邊形QGFD為平行四邊形，∴FG∥DG，
又△ABD是正三角形，且Q為AB的中點，
∴DQ⊥AB，又DQ⊥AA₁，∴DQ⊥平面AA₁B₁B，
∴FG⊥平面AA₁B₁B，又FG?平面MNEF，∴平面MNEF⊥平面AA₁B₁B．
（2）解：以DQ、DC、DD₁為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
F（0，0，3），G（2

3

，0，3），M（2

3

，-2，2），

FM

=（2

3

，-2，-1_，

FG

=（2

3

，0，0），
設(shè)平面MNEF的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • FM =2 3 x-2y-z=0 n • FG =2 3 x=0

，取y=-1，得

n

=（0，-1，2），
又平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），
cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

2

5

=

2 5

5

，
∴平面MNEF與底面ABCD所成的銳二面角的余弦值為

2 5

5

．

點評：本題考查線面關(guān)系、直線與平面所成的角、二面角、梯形及平行四邊形等基礎(chǔ)知識，考查思維能力、空間想象能力，考查應用向量知識解決數(shù)學問題的能力．