Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，4a_n+2=4a_n+1-a_n（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

分析 由已知得4a_n+2-2a_n+1=2a_n+1-a_n（n∈N^*），從而數(shù)列{2a_n+1-a_n}是以3為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列．進(jìn)而得到數(shù)列{a_n×2ⁿ}是以2為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列．
a_n×2ⁿ=2+6（n-1）=6n-4，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：∵4a_n+2=4a_n+1-a_n（n∈N^*），
∴4a_n+2-2a_n+1=2a_n+1-a_n（n∈N^*），
∴$\frac{2{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{2{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，為定值．
∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，
∴2a₂-a₁=2×2-1=3，
數(shù)列{2a_n+1-a_n}是以3為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列．
2a_n+1-a_n=3×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
等式兩邊同乘以2ⁿ，a_n+1×2ⁿ⁺¹-a_n×2ⁿ=6為定值．
a₁×2=1×2=2，
數(shù)列{a_n×2ⁿ}是以2為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列．
a_n×2ⁿ=2+6（n-1）=6n-4，
a_n=$\frac{6n-4}{{2}^{n}}$，
n=1時(shí)，a₁=$\frac{6-4}{2}$=1；n=2時(shí)，a₂=$\frac{6×2-4}{{2}^{2}}$=2，同樣滿足．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{6n-4}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．