Question

【題目】已知函數(shù)，，記

（1）證明：有且僅有一個零點；

（2）記的零點為，，若在內有兩個不等實根，判斷與的大小，并給出對應的證明.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2），證明見解析

【解析】

（1）的零點個數(shù)的零點個數(shù)，故只需求的單調性，并利用零點存在性定理得到有且僅有唯一零點，從而得證；

（2）本題實質是極點偏移，先根據(jù)（1）和題設得到，再確定，，然后用分析法給出證明，要證：，即證，而在上遞減，故可證：，又，故即證，即證，接著構造函數(shù)，證明其單調性，從而得到結果.

（1）證明：的零點個數(shù)的零點個數(shù)，

故要證明有且僅有一個零點，即證明有且僅有一個零點．

∵，即在上單增，

又，，

由零點存在性定理知：在上有且僅有唯一零點，

即在上有且僅有一個零點；

（2），當時，，

由（1）知存在使，

故時，；當時，，

因而．

顯然當時，，因而在上單增；

當時，，．

因而在上遞減；

若在有兩個不等實根，，則，，

顯然當時，，

而用分析法給出證明，要證：，即證，

而在上遞減，故可證：

，又，

故即證，即證．

記，則，

故即證，而，記，

則，，

當時，；時，，

故，

故當時，，

故在上單增，從而當時，，

故得證．